Simulation Interactive des Coordonnées Polaires
Vecteurs e_r et e_θ attachés au point M - Animation anti-horaire
Sens positif de θ : anti-horaire (trigonométrique)
✓ Arc θ animé dans le sens anti-horaire (↺) quand θ augmente
Vecteurs i et j (fixes)
Vecteur e_r (mobile avec M)
Vecteur e_θ (mobile avec M)
Point M
Trajectoire de M
Coordonnées Polaires
Options de Visualisation
Types de Mouvements
Circulaire
r constant, θ varie
r = R, θ = ωt
Radial
θ constant, r varie
θ = θ₀, r = f(t)
Spirale
r et θ varient linéairement
r = a + bt, θ = ωt
Rosace
Courbe à 4 pétales
r = 2 + cos(3θ)
Cardioïde
Courbe en forme de cœur
r = 1 + cos(θ)
Lemniscate
Courbe en forme de 8
r² = cos(2θ)
Parabolique
Spirale parabolique
r = a√θ
Elliptique
Mouvement elliptique
r = a/(1 + e·cosθ)
Sinusoïdal
r varie sinusoïdalement
r = 2 + sin(2θ)
Théorie des Coordonnées Polaires
Définitions de Base
Coordonnées Polaires
Un point M est défini par deux coordonnées :
(r, θ) où r ≥ 0 et θ ∈ [0, 2π[
- r : Distance radiale depuis l'origine (pôle)
- θ : Angle polaire mesuré depuis l'axe Ox (sens anti-horaire positif)
Vecteurs de Base Polaires
Base locale orthonormée qui tourne avec le point M :
eᵣ = (cos θ, sin θ)
eₜₕₑₜₐ = (-sin θ, cos θ)
eₜₕₑₜₐ = (-sin θ, cos θ)
- eᵣ : Vecteur radial (direction de M)
- eₜₕₑₜₐ : Vecteur orthoradial (perpendiculaire à eᵣ)
- Ces vecteurs forment une base orthonormée : eᵣ·eₜₕₑₜₐ = 0
Relation avec les Coordonnées Cartésiennes
Conversion Polaire → Cartésienne
x = r · cos θ
y = r · sin θ
y = r · sin θ
Le vecteur position s'écrit :
OM = r · eᵣ = (r cos θ, r sin θ)
Conversion Cartésienne → Polaire
r = √(x² + y²)
θ = atan2(y, x)
θ = atan2(y, x)
La fonction atan2(y, x) donne l'angle dans le bon quadrant.
Relation entre les Bases
eᵣ = cos θ · i + sin θ · j
eₜₕₑₜₐ = -sin θ · i + cos θ · j
eₜₕₑₜₐ = -sin θ · i + cos θ · j
La matrice de passage de (i, j) à (eᵣ, eₜₕₑₜₐ) est une rotation d'angle θ.
Cinématique en Coordonnées Polaires
Vecteur Position
OM(t) = r(t) · eᵣ(θ(t))
Le point M dépend du temps à travers r(t) et θ(t).
Vecteur Vitesse
Dérivée du vecteur position :
v = d(OM)/dt = ṙ · eᵣ + r · θ̇ · eₜₕₑₜₐ
Où :
- ṙ = dr/dt : Vitesse radiale
- θ̇ = dθ/dt : Vitesse angulaire
- Composante radiale : ṙ · eᵣ
- Composante orthoradiale : r · θ̇ · eₜₕₑₜₐ
Vecteur Accélération
Dérivée du vecteur vitesse :
a = d²(OM)/dt² = (r̈ - rθ̇²) · eᵣ + (rθ̈ + 2ṙθ̇) · eₜₕₑₜₐ
Où :
- r̈ = d²r/dt² : Accélération radiale
- θ̈ = d²θ/dt² : Accélération angulaire
- Terme centripète : -rθ̇² · eᵣ
- Terme de Coriolis : 2ṙθ̇ · eₜₕₑₜₐ
Applications Physiques
Mouvement Circulaire
r constant ⇒ v = rθ̇·eₜₕₑₜₐ, a = -rθ̇²·eᵣ + rθ̈·eₜₕₑₜₐ
Mouvement Keplerien
Planètes : r = a(1-e²)/(1+e·cosθ) avec θ̇ = constante
Mécanique des Rotors
Vibrations, déséquilibres analysés en coordonnées polaires
Ondes Circulaires
Propagation d'ondes à symétrie sphérique ou cylindrique